============= 3.2 剪切流动 ============= 3.2.1 简单剪切 ---------------- 如果温度均匀、厚度为 h 的聚合物层（图 3.6）在对立面上受到切向力 F 的剪切，导致其边界相对运动 W = dx/dt，则所有截面上的剪切应力 T = F /xz 将保持恒定（通过力的平衡）， 如果粘度是一种材料特性，则在应力恒定时粘度也将保持恒定。那么根据公式 (3.5)，剪切速率也将是恒定的： :math:`\dot{\gamma } = \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} y} = \frac{W}{h}` ``- (3.11)`` .. note:: 这与 τ 和 |y| 之间的关系无关，即它既适用于牛顿行为，也适用于假塑性行为。 .. |y| replace:: :math:`\dot{\gamma }` .. figure:: /images/simple_shear.png :width: 80% :align: center 图 3.6 简单剪切 3.2.2 圆形毛细管（牛顿模型） ----------------------------- 流动被认为是充分发展的，即流动是纯轴向的，速度曲线与轴向位置无关。因此，可以认为法线截面上的压力是均匀的，并将沿流向下降。使用下标 y、r 和 R 表示相应半径处的值，半径 y 处的剪应力和剪切速率分别为 |Ty| 和 |γy| = |dVy/dy| 。 .. figure:: /images/capillary_flow.png :width: 80% :align: center 图 3.7 圆形毛细管 如果压力在长度 dL 上从 P + dP 降到 P，那么半径 y 和长度 dL 的圆柱体上的力等效（图 3.7）： :math:`\left [ \left ( P + dp \right ) -P \right ] \pi y ^{2} = 2\tau _{y} \pi y dL` ``- (3.12)`` .. |Ty| replace:: :math:`\tau _{y}` .. |γy| replace:: :math:`\dot{\gamma } _{y}` .. |dVy/dy| replace:: :math:`\frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y}` 因此 :math:`\tau _{y} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} L} \bullet \frac{y}{2}` ``- (3.13)`` .. note:: - 切应力与压力梯度成正比； - 切应力与半径成正比，因为 dP/dL 与半径无关； - 切应力与流体性质无关； - 壁面切应力 |Tr| = (R/2) . dP/dL。 .. |Tr| replace:: :math:`\tau _{R}` 由于压力随着 L 的增大而减小，因此 τ 的符号与 |γ| 相反，根据定义： .. |γ| replace:: :math:`\dot{\gamma }` .. :math:`\tau _{y} = - \eta \frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y}` ``- (3.14)`` 因此 :math:`\begin{eqnarray}\dot{\gamma _{y} } & = & \frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y} \\ & = & -\frac{\tau _{y} }{\eta }\\ & = & -\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} L}\bullet \frac{y}{2\eta } \end{eqnarray}` ``- (3.15)`` 因此剪切速率也与半径成正比。那么： :math:`\begin{eqnarray}\mathrm{d}V_{y} & = & - \frac{\tau _{y} }{\eta } \mathrm{d}y \\ & = & \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \bullet \frac{y\mathrm{d}y }{2\eta } \end{eqnarray}` ``- (3.16)`` 积分： :math:`\int_{0}^{r} = - \frac{1}{2\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \int_{0}^{r}y\mathrm{d}y` ``- (3.17)`` 给予： :math:`V_{r} - V_{0} = - \frac{r^{2} }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L}` ``- (3.18)`` 假设流体紧贴壁面（无滑动），则 |VR| = 0 那么： .. |VR| replace:: :math:`V _{R}` .. :math:`V_{0} =\frac{R^{2} }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L}` ``- (3.19)`` 并： :math:`\begin{eqnarray}V_{r} & = & \frac{1 }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \left ( R^{2} - r^{2} \right ) \\ & = & V_{0} \left ( 1-\frac{r^{2} }{R^{2} } \right ) \end{eqnarray}` ``- (3.20)`` 得出抛物线速度曲线。 在半径为 r 的 dr 宽环形空间中的体积流量为： :math:`\mathrm{d}Q_{r} = V_{r} \bullet 2\pi r\mathrm{d}r` ``- (3.21)`` 和总容积流量： :math:`\begin{eqnarray}Q & = & \frac{2\pi }{4\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \int_{0}^{R} \left (R^{2} - r^{2} \right ) r\mathrm{d}r \\ & = & \frac{\pi R^{4} }{8\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \end{eqnarray}` ``- (3.22)`` 调整为： :math:`\mathrm{d}P = \frac{8\eta Q\mathrm{d}L }{\pi R^{4} }` ``- (3.23)`` 将公式 (3.15) 用作毛细管壁的剪切率，并代入公式 (3.22) 中的 dP/dL： :math:`\begin{eqnarray}\dot{\gamma } & = & \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \bullet \frac{R}{2\eta } \\ & = & \frac{4Q}{\pi R^{3} } \end{eqnarray}` ``- (3.24)`` 得出了与流速和模头尺寸相关的壁面剪切速率。 3.2.3 无边界平缝（牛顿模型） -------------------------------- 根据与毛细管相同的假设，无限狭缝宽 T 深 H，其中 T>>H，因此端面的阻力可以忽略不计，因此流动是一维的，速度只在 H 方向变化。下标为 y、h 和 X，其中 X = H /2，表示从中心线测量的相应尺寸（图 3.8）。 .. figure:: /images/slit_flow.png :width: 80% :align: center 图 3.8 平缝流动 通过对从中心开始以 y 为轴的 T 宽区域进行力平衡： :math:`\mathrm{d}P y T = \tau _{y} \mathrm{d}L` ``- (3.25)`` 那么： :math:`\begin{eqnarray}\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} \bullet y & = & \tau _{y} \\ & = & - \eta \dot{\gamma } _{y} \\ & = & - \eta \frac{\mathrm{d} V_{y} }{\mathrm{d} y} \end{eqnarray}` ``- (3.26)`` 同样，剪应力与中心距离和压力梯度成正比，与流体性质无关。有： :math:`\begin{eqnarray}\mathrm{d}V_{y} & = & -\frac{\tau _{y} }{\eta } \mathrm{d}y \\ & = & -\frac{1}{\eta } \bullet \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} L} y\mathrm{d}y \end{eqnarray}` ``- (3.27)`` 综合: :math:`\int_{0}^{h}\mathbf{d}V=-\frac{1}{\eta}\cdot\frac{\mathbf{d}P}{\mathbf{d}L}\int_{0}^{h}y\,\mathbf{d}y` ``- (3.28)`` 给: :math:`V_{h}-V_{0}=-\frac{h^{2}}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}` ``- (3.29)`` 但是 :math:`V_{X}=0` . 那么: :math:`\begin{array}{r}{V_{0}=\cfrac{X^{2}}{2\eta}\cdot\cfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\\ {=\cfrac{H^{2}}{8\eta}\cdot\cfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\end{array}` ``- (3.30)`` 及 :math:`\begin{array}{l}{\displaystyle V_{h}=\frac{1}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left(X^{2}-h^{2}\right)}\\ {\displaystyle\qquad=\frac{1}{8\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left(H^{2}-4h^{2}\right)}\end{array}` ``- (3.31)`` 得出抛物线速度曲线（在 :math:`T` 方向上均匀）。 在距离中心 :math:`\pmb{h}` 处，厚度为 :math:`\mathbf{d}h` 的薄片中的体积流量为： 和总体积流量： :math:`\mathrm{d}Q_{h}=V_{h}T\,\mathrm{d}h` ``- (3.32)`` :math:`\begin{array}{l}{{Q=2\displaystyle\int_{0}^{X}\frac{T}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left(X^{2}-h^{2}\right)\mathrm{d}h}}\\ {{\ }}\\ {{\displaystyle{=\frac{T}{\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\left[X^{2}h-\frac{h^{3}}{3}\right]_{0}^{X}}}}\\ {{\ }}\\ {{\displaystyle{=\frac{2T}{3\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\,X^{3}}}}\\ {{\ }}\\ {{\displaystyle{=\frac{T H^{3}}{12\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}}}\end{array}` ``- (3.33)`` 其中 :math:`H=2X` 。重新排列： 壁面剪切率为 :math:`\mathbf{d}P={\frac{12\eta Q\,\mathrm{d}L}{T H^{3}}}` ``- (3.34)`` :math:`\begin{array}{l}{\dot{\gamma}_{X}=-\frac{X}{\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\\ {\quad=-\frac{H}{2\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\\ {\quad=\frac{6Q}{T H^{2}}}\end{array}` ``- (3.35)`` 表 3.1 流量方程汇总表 .. figure:: /images/table3.1.png :width: 80% :align: center 表 3.1 列出了这两种压力流的结果，以及幂律流体的相应结果。从公式 (3.23) 中可以看出，在半径恒定的毛细管中，如果粘度不依赖于压力，则压力梯度 :math:`/\mathbf{d}P/\mathbf{d}L`\ 恒定且等于 :math:`P/L`\ 。公式 (3.22) 可以重写： :math:`Q=\frac{\pi R^{4}}{8\eta}\cdot\frac{P}{L}` ``- (3.36)`` 或者，把 :math:`K=\pi R^{4}/8L` 放在恒定维数的模中： :math:`Q=\frac{K P}{\eta}` ``- (3.37)`` 流量方程 (3.22) 和 (3.33) 以及相应的幂律方程（表 3.1）可用于确定不同尺寸对压力流量的影响。对于两个串联的毛细管，如阶梯模中的毛细管，每个部分的容积流量显然是相同的。那么对于牛顿流体，根据公式 (3.22) :math:`\frac{\pi R_{2}^{4}}{8\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P_{2}}{\mathrm{d}L}=\frac{\pi R_{1}^{4}}{8\eta}\cdot\frac{\mathrm{d}P_{1}}{\mathrm{d}L}` 或者 :math:`{\cfrac{{\mathrm{d}}P_{2}}{{\mathrm{d}}L}}=\left({\cfrac{R_{1}}{R_{2}}}\right)^{4}.{\cfrac{{\mathrm{d}}P_{1}}{{\mathrm{d}}L}}` ``- (3.38)`` 如果 例如 :math:`R_{2}=0.95R_{1}` :math:`{\cfrac{{\mathrm{d}}P_{2}}{{\mathrm{d}}L}}=1.228~{\frac{{\mathrm{d}}P_{1}}{{\mathrm{d}}L}}` ``- (3.39)`` 即半径减少 :math:`5\%`\ ，压力梯度增加 :math:`22.8\%`\ 。 对于假塑性幂律流体，表 3.1 给出了壁面剪切率： :math:`\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}=\frac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}\:\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}` ``- (3.40)`` 与 :math:`\eta_{\mathrm{w}2}=\bigg(\frac{R_{1}}{R_{2}}\bigg)^{3n-3}\cdot\eta_{\mathrm{w}1}` ``- (3.41)`` 那么在流量 :math:`Q` 相等的情况下: :math:`\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\mathrm{d}P_{2}}{\mathrm{d}L}\!=\!\frac{\mathrm{d}P_{1}}{\mathrm{d}L}\cdot\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{4}\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3n-3}}\\ {\displaystyle=\frac{\mathrm{d}P_{1}}{\mathrm{d}L}\cdot\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3n+1}}\end{array}` ``- (3.42)`` 然后在 :math:`R_{2}=0.95R_{1}` 和 :math:`n=0.3` :math:`{\frac{{\mathrm{d}}P_{2}}{{\mathrm{d}}L}}=1.102\,{\frac{{\mathrm{d}}P_{1}}{{\mathrm{d}}L}}` ``- (3.43)`` 也就是说，对于高度假塑性的流体，半径减少\ :math:`5\%` 会导致压力梯度增加\ :math:`10.2\%`\ 。 对于宽度为 :math:`_T` 的均匀狭缝，如果深度 :math:`\pmb{H}` 减少 5 美元/%$，则相应的值分别为 :math:`16.6\%` 和 :math:`8.5\%`\ （对于 :math:`n=1` 和 :math:`n=0.3`\ ）。 对于两个平行的等长毛细管，如多线模中的毛细管，每个毛细管上的压降和压力梯度是相同的。那么对于牛顿流体，根据公式 (3.23): :math:`\frac{8\eta Q_{2}}{\pi R_{2}^{4}}\,{=}\,\frac{8\eta Q_{1}}{\pi R_{1}^{4}}` 或者 :math:`Q_{2}=Q_{1}\left({\frac{R_{2}}{R_{1}}}\right)^{4}` ``- (3.44)`` 如 :math:`R_{2}=0.95R_{1}` , :math:`Q_{2}=0.814Q_{1}` ``- (3.45)`` 即半径减小 5%，流速减小 18.6%。平均流速 :math:`Q/\pi R^{2}` 降低了 9.75%。例如，这对于多股分支模头进行普通分流非常重要。 对于伪塑性幂律(pseudoplastic power-law)流体，表3.1给出了： :math:`\begin{array}{r l r}{{\dot{\gamma}_{\mathrm{w2}}=-\frac{1}{\eta_{\mathrm{w2}}}\cdot\frac{R_{2}}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}} \\&{}&{=\dot{\gamma}_{\mathrm{w1}}\,\frac{\eta_{\mathrm{w1}}}{\eta_{\mathrm{w2}}}\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}}}\end{array}` ``- (3.46)`` 但 根据公式 (3.7): :math:`\eta_{\mathrm{w}2}=\eta_{\mathrm{w}1}\left(\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}}\right)^{n-1}` ``- (3.47)`` 因此 :math:`\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\,\left(\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}1}}\right)^{1-n}` 或 :math:`\frac{\dot{\gamma}_{\mathrm{w}2}}{\dot{\gamma}_{\mathrm{wl}}}=\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{1/n}` ``- (3.48)`` 及 :math:`\eta_{\mathrm{w}2}=\eta_{\mathrm{w}1}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{(n-1)/n}` ``- (3.49)`` 那么 :math:`\begin{array}{l}{{\displaystyle Q_{2}=Q_{1}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{4}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{(1-n)/n}}}\\ {{\mathrm{}}}\\ {{\displaystyle=Q_{1}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)^{(3+1/n)}}}\end{array}` ``- (3.50)`` 如果 :math:`R_{2}=0.95R_{1}` 和 :math:`n=0.3` ， :math:`Q_{2}=0.723Q_{1}` ``- (3.51)`` 也就是说，半径减小\ :math:`5\%`\ ，流速减小\ :math:`27.7\%`\ ，平均速度减小\ :math:`19.9\%`–比牛顿情况下的数值更大。对于两个平行的等宽缝隙 :math:`T`\ ，其中一个的深度 :math:`H_{2}` 为 :math:`0.95H_{1}`\ ，则相应的数值为：在 :math:`n=1` 和 :math:`n=0.3` 时，流速分别降低 :math:`14.3%` 和 :math:`23.9%`\ 。对于这两个 :math:`\pmb{n}` 值，平均流速的降低比例与圆形毛细管相同。 这些计算对实际挤压模具公差的影响将在第 5 章中讨论。除了毛细管内的压力损失外，还经常会有入口损失，特别是方形入口模头，在低剪切速率下，入口损失可能相当于增加 :math:`4L/R` 至 :math:`6L/R` 的模头长度，在较高剪切速率下，入口损失会增加；这将在第 3.5 节中讨论。 剪切流的一个难点是剪切同时在多个方向上进行。这种情况出现在挤出机螺杆的通道中，聚合物熔体沿通道同时受到剪切，其净流速取决于背压，而穿过通道时的净流速为零。其结果在大小和方向上都会发生变化，这就产生了冗长的牛顿流体方程（见第 8.4 节）。对于非牛顿流体，计算结果过于复杂，无法用于工业运行分析。另一种情况是在螺杆的输送端安装了一个混合装置，例如涂抹头或 Dulmage 头。该装置的旋转会造成横向于轴线的简单剪切流（线性速度分布），而有用的输出则由轴向压力流表示，就像在狭窄的缝隙中一样（等式（3.33）），从而产生弯曲的速度分布，例如抛物线速度分布；其结果在大小和方向上也是不同的。有学者指出，某点的有效粘度（假定为各向同性）受该点的最大剪切速率控制。Cogswell （Cogswell 和 Lamb，1970 年）对低密度聚乙烯进行的实验表明，当旋转头的速度增加时，在旋转头之后的模头中的粘度会降低；这归因于可能是这种聚合物特有的暂时性链解缠。 3.2.4 剪切应变能 ------------------ (Strain energy in shear) 参考图3.6，考虑平行于剪切应力方向并以速度w移动的层厚。然后，作用在该层与速度为 :math:`w+\mathbf{d}w` 的相邻层之间的界面上的剪切力为： .. math:: F=\tau x z \tag{3.52} 这在时间 :math:`t` 上起作用的距离是： .. math:: [(w+\mathbf{d}w)-w]t\tag{3.53} 在时间 :math:`t` 内完成的工作： .. math:: F t[(w+\mathbf{d}w)-w]=\tau x z\,t\,\,\mathrm{d}w\tag{3.54} 但薄片的体积为 :math:`x z\,{\mathsf{d}}y` ，因此单位体积在 :math:`t` 时间内所做的功为： .. math:: {\frac{\tau x z\,t\,\,{\mathrm{d}}w}{x z\,{\mathrm{d}}y}}=\tau\,{\frac{{\mathrm{d}}w}{{\mathrm{d}}y}}\;t\tag{3.55} 以及单位体积的应变能： .. math:: \tau\,\frac{\mathsf{d}w}{\mathsf{d}y}=\tau\dot{\gamma}\,\mathsf{N}\,\mathsf{s}^{-1}\,\mathsf{m}^{-2}\tag{3.56} 将粘度代入方程 (3.5) 即可得出： .. math:: {\begin{array}{r l}&{{\mathrm{Strain~energy~per~unit~volume(单位体积的应变能)}}={\frac{\tau^{2}}{\eta}}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\eta\;{\dot{\gamma}}^{2}\,{\mathrm{N\,s}}^{-1}\,{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{~or~}}{\mathrm{W\,m}}^{-3}}\end{array}} 在简单剪切的情况下，代入公式 (3.11) 即可得出： .. math:: {\mathrm{Strain~energy~per~unit~volume}}={\frac{\eta W^{2}}{h^{2}}}\,\mathbf{W}\,\mathbf{m}^{-3}\tag{3.58} or .. math:: {\mathrm{Strain~energy~per~unit~volume}}={\frac{\eta W^{2}}{h^{}}}\,\mathbf{W}\,\mathbf{m}^{-2}(\mathrm{simple~shear})\tag{3.59} 对于幂律流体，将方程（3.6）代入方程（3.56）得到： .. math:: \begin{array}{r l}&{\mathrm{~Strain~energy~per~unit~volume}=K\dot{\gamma}^{n+1}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=K\left(\cfrac{W}{h}\right)^{n+1}(\mathrm{simple~shear})}\end{array} 在圆形毛细管中，根据方程式（3.15）： .. math:: \dot{\gamma}_{r}=-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\,\cdot\,\frac{r}{2\eta}\tag{3.61} 然后，对于牛顿流体，结合方程（3.57）和（3.61），环空 :math:`r` 到 :math:`r+\mathbf{d}r` 的应变能为： .. math:: \left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}{\frac{r^{2}}{4\eta}}\cdot2\pi r L\,\mathrm{d}r={\frac{\pi L}{2\eta}}\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\cdot r^{3}\,\mathrm{d}r\tag{3.62} 毛细管中的总应变能为： .. math:: {\frac{\pi L}{2\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\int_{0}^{R}r^{3}\,\mathrm{d}r={\frac{\pi L}{8\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\cdot R^{4}\tag{3.63} 毛细管中局部应变能的分布由方程（3.62）给出，如图3.9所示。 根据流量方程（3.22）进行替换： .. math:: \begin{array}{r l}{{\mathrm{Total~strain~energy}=\frac{8\eta L Q^{2}}{\pi R^{4}}}}\\ &{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=Q\,\mathrm{d}P\mathrm{~(in~circular~capillary)}}\end{array} 其中 :math:`\mathbf{d}P` 是长度 :math:`L` 上的压降。 同样，在无限狭缝中，根据方程式（3.26）： .. math:: \dot{\gamma}_{h}=-\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}\cdot\frac{h}{\eta}\tag{3.64} .. figure:: /images/d205e3d614757d8440b1012e68f7f1f65fe7a5358f80faa624f1d5be97585780.jpg :width: 80% :align: center 层流h至h+dh的应变能为： .. math:: \left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}{\frac{h^{2}}{\eta}}\cdot T L\;\mathrm{d}h={\frac{T L}{\eta}}\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\cdot h^{2}\,\mathrm{d}h\tag{3.65} 总应变能为： :math:`{\begin{array}{r}{{\frac{2T L}{\eta}}\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\!\int_{0}^{X}h^{2}\,\mathrm{d}h={\frac{2T L}{3\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\!X^{3}}\\ {={\cfrac{T L}{12\eta}}\,\left({\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}L}}\right)^{2}\!H^{3}}\end{array}}` ``- (3.66)`` 如图3.8所示，\ :math:`X=H/2`\ 。根据流量方程（3.33）进行替换： :math:`\begin{array}{r l}&{\mathrm{Total~strain~energy}=\frac{12\eta Q^{2}L}{T H^{3}}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=Q\,\mathrm{d}P\,\mathrm{~(in~infinite~slit)}}\end{array}` ``- (3.67)`` 其中\ :math:`\mathbf{d}P`\ 是长度\ :math:`\pmb{L}`\ 的压降。 由方程（3.65）给出的宽狭缝中局部应变能的分布也绘制在图3.9中。下面的例子说明了应变能量和粘性加热的数量级。在直径为\ :math:`100\,\mathrm{mm}`\ 的挤出机螺杆中，通道宽度为\ :math:`100\,\mathrm{mm}`\ ，转速为\ :math:`1\,\mathbf{rps},`\ 速度约为\ :math:`0.3\,\mathbf{m}\,\mathbf{s}^{-1}` 。如果通道深度为10mm，剪切速率W/h约为\ :math:`0.3/0.01=30\,\mathrm{s}^{-1}` 。 然后从 第6章，阻力流速由下式给出： :math:`\begin{array}{l}{{Q_{\mathbf{D}}=\cfrac{W b h}{2}}}\\ {{\qquad=\cfrac{\pi\times0.1\times0.1\times0.01}{2}}}\\ {{\qquad=1.57\times10^{-4}\,\mathrm{m^{3}\,s^{-1}}}}\end{array}` ``- (6.9)`` 假设粘度为\ :math:`10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-2}` 。然后仅考虑下游流速，在阻力流中为简单剪切： .. math:: \begin{array}{r l}{\mathrm{Strain\ energy}=\eta\stackrel{.}{\gamma}^{2}}&{}\\ {=10^{3}\times30^{2}}\\ {}&{=9\times10^{5}\,\mathbf{W\,m}^{-3}}\end{array} 及 .. math:: \begin{array}{c}{{\mathrm{Volume~of~one~turn}\simeq\pi D b h}}\\ {{=\pi0.1\times0.1\times0.01}}\\ {{\simeq3\times10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}}}\end{array} 然后 .. math:: \begin{array}{r}{\mathrm{Strain\ energy\ per\ turn}=9\times10^{5}\times3\times10^{-4}}\\ {=2.7\times10^{2}\,\mathrm{W}\qquad\qquad\qquad}\end{array} 根据表4.1，密度和比热为 :math:`750\,\mathbf{kg}\,\mathbf{m}^{-3}` and :math:`2500\,\bar{{\bf J}}\,\bar{{\bf k}}{\bf g}^{-1}\,{\bf K}^{-1}` , 加热速率为： .. math:: \begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\,{=}\,\frac{9\times10^{5}}{750\times2500}}\\ {\displaystyle\simeq0.5^{\circ}\mathrm{C\,s}^{-1}}\end{array} 在毛细管中，假设一个直径为\ :math:`5\,\mathrm{mm}`\ 、长为\ :math:`10\,\mathrm{mm}`\ 的模具，并测量流速。\ :math:`Q^{-}\,{=}\,0.1\times\,\mathrm{i}0^{-4}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}`\ ，牛顿粘度为\ :math:`10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-2}` .. math:: \begin{array}{l}{\displaystyle\mathrm{d}P=\frac{8\eta Q\mathrm{d}L}{\pi R^{4}}}\\ {\displaystyle\qquad=\frac{8\times10^{3}\times0.1\times10^{-4}\times0.01}{\pi(2.5)^{4}\times10^{-12}}}\\ {\displaystyle\qquad=6.5\times10^{6}\,\mathrm{N\,m^{-2}}}\end{array} 边界剪切速率为： .. math:: \begin{array}{l}{{\dot{\gamma}_{R}=\displaystyle\frac{4Q}{\pi R^{3}}~~}}\\ {{\qquad=\displaystyle\frac{4\times0.1\times10^{-4}}{\pi\times2.5^{3}\times10^{-9}}}}\\ {{\qquad=815\,\mathrm{s}^{-1}}}\end{array} 模头的容积 .. math:: =\pi\times2.5^{2}\times10^{-6}\times0.01 通过模头时消耗的能量为 .. math:: \begin{array}{c}{{Q\cdot{\bf d}P=0.1\times10^{-4}\times6.5\times10^{6}}}\\ {{=65\,{\bf W}}}\end{array} 然后 .. math:: \begin{array}{r l}{{\mathrm{Strain~energy}=\frac{65}{19.6\times10^{-8}}}} \\ {=3.32\times10^{8}\,\mathrm{W\,m}^{-3}}\end{array} 请注意，这是\ :math:`\eta\dot{\gamma}_{R}^{2}` 给出的一半，也就是说，如果壁上的应变能在整个毛细管上持续存在，见图3.9。通过的时间是： .. math:: {\frac{19.6\times10^{-8}}{0.1\times10^{-4}}}=19.6\,\mathrm{ms} 及加热速率为: .. math:: \begin{array}{c}{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\!=\!\frac{3.32\times10^{8}}{750\times2500}}}\\ {\displaystyle{=177^{\circ}\mathrm{C\,s}^{-1}}}\end{array} 因此，通过模头的温升为： .. math:: \begin{array}{l}{{\bf d}T=177\times19.6\times10^{-3}}\\ {~~~~~~=3.97^{\circ}{\bf C}}\end{array} 为了将这些剪切应变能与纵向流动中的剪切应变能进行比较，考虑一个直径从\ :math:`50\,\mathrm{mm}`\ 减小到 :math:`5\,\mathrm{mm}`\ 、长度为\ :math:`20\,\mathrm{mm}` 的模具入口——一个尖锐的锥形，以夸大纵向分量。显然，由于平均剪切速率较低，锥形入口的剪切应变能将小于毛细管。现在 .. math:: {\begin{array}{r l}&{{\mathrm{Volume~of~entrance}}={\frac{\pi}{3}}\times25^{2}\times10^{-6}\times20\times10^{-3}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=13.09\times10^{-6}\,{\mathrm{m}}^{3}}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=13.09\times10^{-6}\,{\mathrm{m}}^{3}}\\ &{\qquad\qquad\mathrm{Half~angle~of~taper}=\tan^{-1}\left({\frac{50-5}{2\times20}}\right)}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\tan^{-1}1.125}\\ &{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=48.4^{\circ}}\end{array}} 根据方程式（3.69），我们得到： .. math:: \begin{array}{c}{{\mathrm{Elongational~strain}=\log_{\mathrm{e}}\left(\displaystyle{\frac{50}{5}}\right)^{2}}}\\ {{=4.605}}\end{array} 如前所述，流速为： .. math:: Q=0.1\times10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1} 通过锥度的时间为： .. math:: \frac{{\mathrm{Volume}}}{Q}\,{=}\,\frac{13.09\times10^{-6}}{0.1\times10^{-4}} 则平均应变率由下式给出： .. math:: \begin{array}{l}{\dot{\varepsilon}\equiv\frac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t}}\\ {\quad=\frac{4.605}{1.309}}\\ {\quad=3.518\,\mathrm{s}^{-1}}\end{array} 假设拉伸粘度为： .. math:: \begin{array}{l}{\Lambda=3\eta}\\ {\qquad=3\times10^{3}\,{\mathrm{N}}\,{\mathrm{s}}\,{\mathrm{m}}^{-2}}\end{array} 通过与剪切应变能类比，拉伸应变能由下式给出： .. math:: \begin{array}{c}{{\Lambda\dot{\varepsilon}^{2}=3\times10^{3}\times3.518^{2}}}\\ {{=37.1\times10^{3}\,\mathbf{W\,m}^{-3}}}\end{array} 请注意，模具中的剪切应变能约为该拉伸能的\ :math:`10^{4}`\ 倍。存储在锥度中的拉伸能为： .. math:: 37.1\times10^{3}\times13.09\times10^{-6}=0.486\,\mathbf{W} 大部分能量以弹性方式储存，并在模具出口处通过弹性恢复释放，从而在长度上产生横向膨胀和收缩。然而，如果这种能量通过平行通道中的内摩擦消散，例如在非常长的模具中，温度上升的速度将为 .. math:: \begin{array}{r}{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\!=\!\frac{37.1\times10^{3}}{750\times2500}}\\ {=\!0.0198^{\circ}\!\mathrm{C}\,\mathrm{s}^{-1}}\end{array} 与毛细管中的剪切力相比，这可以忽略不计。 在更复杂的情况下，可以推导出应变能和粘性加热，其中剪切速率（或剪切应力）和粘度（在非等温或非牛顿情况下）有分析表达式。第8.4节研究了阻力和压力流的组合。